围棋棋盘

　　围棋，一种中国古代发明、两人进行智力游戏性很强的棋类，有黑白、手谈等诸多名字，为琴棋书画的四艺之一。围棋流行于亚太，覆盖世界范围，是一种非常流行的棋类，被认为是世界上一种最复杂的棋类游戏。对围棋曾有《棋定天下》一诗赞道：

　　无声无息起硝烟，黑白参差云雨颠。

　　凝目搜囊巧谋略，全神贯注暗周旋。

　　山穷水尽无舟舸，路转峰回别样天。

　　方寸之间人世梦，三思落子亦欣然。

　　围棋使用方形格状棋盘及黑白二色圆形棋子进行对弈，棋盘上有纵横各19条直线将棋盘分成361个交叉点，棋子走在交叉点上，双方交替行棋，落子后不能移动，以围地多者为胜。由于它将科学、艺术和竞技三者融为一体，有着发展智力、培养意志和机动灵活的战略战术思想意识的特点，因而，几千年来长盛不衰，并逐渐地发展成了一种国际性的文化竞技活动。

　　自围棋问世以来，随着人们对其认识的不断深入，棋盘和下棋规则也在不断的变化中走向完善。现在的围棋棋盘由纵横交错的十九条直线组成的361个方形交叉点组成。如上图“围棋棋盘之二”所示，棋盘有上、下、左、右四条边，标着八星和中天元九个点，分为边、角和中腹等不同的区域。我们把四条边界线称为一线，与边界线相邻的四条线称为二线，并依次根据它们与边界的距离远近分别称为三线、四线等等。各线上的点由于距离边界相同，使它们具有比较一致的特性。

　　下围棋时，先手可率先抢占有利点，造成下棋的不公平。围棋棋盘要多大，先手应该为后手贴多少目棋，是影响下棋公平的主要因素。经过近4000年左右的多次变化，围棋棋盘由古时每边十一道增至现在的十九道，胜负贴目也已基本定论并被广泛接受，但至今仍还缺乏一个令人信服的证明，说明其合理性。现在要问，能否对围棋构造一个数学模型，证明其合理性呢？结合当今围棋规则，用数学建模的方法观察，分析，计算出相关数据，看其是否合理、可用，目的是为了尽可能的使弈棋的公平，使棋手的水平充分发挥。

　　在围棋中，人们比较看重的问题有两个：①  围棋棋盘经历了多次变化，围棋的棋盘道数多少才最为合理？② 在最为合理的道数下，先手应该贴后手多少目，有没有可能使贴目接近于0？下面谈谈如何构建数学模型来解决这些问题。限于篇幅，这里只讨论第一个问题。

　　为对围棋构建可用的数学模型并解决上述问题，作如下假设：① 对弈双方棋力相当；② 棋盘连续，棋手可在棋盘任意点线的空白处布子；③ 棋类比赛，有攻有守，攻守成败以最后成活与占地多少为准；④ 对于一块含两个以上眼位的成活棋块，以其棋子数除以这些棋子所包含的目数得到的商值称为此棋块的“目效率”，记为PE。

　　弈棋的不公平主要来自于先手，如果改掉规则，让两人同时落子，便不存在不公平的问题。但现实是总有先后手之分，自然先手会用第一步占据棋盘上最有利的点，围棋棋盘除天元外，所有的点都四点对称。所以，只要天元不是最有利的点，那么最有利的点就有4个，成对出现，后手的损失就不会太大。所以问题就转化为在什么情况下，天元不会成为最有利的位置。

　　当棋盘过小时，天元的位置极其重要，对于总道数少的小棋盘甚至第一步走在天元位置上就可以赢得全局，但随着棋盘道数的不断增加，棋盘增大，天元的优势就不明显了，原因是天元对边角的控制不足，导致边角的利益大于天元的利益，问题转化为当道数为多少时，边角可摆脱天元对边角的控制。为使围棋对弈时先、后手差异不太大，我们不妨取中腹和边域目效率相差不大为目标和依据，看看围棋的道数取多少为好。

　　假设棋盘每边的边数为x道（显然，x应为正整数），现在棋盘的道数x=19。为实战需要，围棋棋盘的道数不能太大，也不能太小，不妨假设11≤x≤23。将第四边上的八星连线，所围之地称为中腹，占有目数（x-80）2，记其目效率为PE4；将第3边连线，1-2边组成边域， 占有目数8x-16，记其目效率为PE3。由于对x的限制，三线外的边域及四线围成的中腹区域都已成为实空，对手无法再做活。这时，边和中腹区域的目效率分别为：

　　基于E（x）为一单调增函数，且E（18）= -0.18881和E（19）= 0.09222，故0解应在开区间（18，19）之中，其有效解道数应取为正整数，由│E（19）│<│E（18）│，说明围棋棋盘道数x应为取为19，取19×19的围棋棋盘是最佳的，因而说明现在的围棋棋盘取19道有其一定的合理性。

　　（张建中 中国科普博览）